问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3）+2，其中a为常数．
（1）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数y=f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．
答案
（1）∵f（x）=ax3-3x2+2，
∴f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，解得a=2
（2）①当a=0时，
f（x）=-3x2在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax（x-
），令f'（x）=0得：x1=0，x2=2 a
，2 a
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈（
，2）时，f'（x）＞0，∴2 a
≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意），2 a
综上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax3+（3a-3）x2-6x+2，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax2+2（3a-3）x-6=3[ax2+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax2+2（a-1）x-2=0（*），显然有△=4a2+4＞0．
设方程（*）的两个根为x1，x2，由（*）式得 x1x2=-
＜0，不妨设x1＜0＜x2．2 a
当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x2≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数
所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）即0≥20a-22，解得a≤
，又因为a＞0，所以a∈（0，6 5
]6 5