设正四面体为P-ABC，设点P在底面ABC上的射影为P'、球心为O、正四面

体的边长和高分别为a，H．由于钢球体积最大时与四个面都相切．由题设点P在

底面ABC中的射影P'必是底面ABC的中心．显然O将正四面体分割为四个体积

相同的正四面体O-ABC，O-PAB，O-PBC，O-PCA，

所以有

1

3

×S底×H=4×(

1

3

×S底×R)⇒H=4R，

容易求得H=

6

3

a，代入可求得R=

1

2

．

所以钢球的最大体积为V=

4

3

πR3=

π

6

．

故答案为：

π

6