（I）a=2，可得f(x)=

1

x

+2x+lnx，

可得f′（x）=

-1

x2

+2+

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x2

，（x＞0）

若f′（x）＞0，可得x＞

1

2

，f（x）为增函数；

若f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

2

，f（x）为减函数；

函数f（x）的单调增区间：（

1

2

，+∞]；

函数f（x）的单调减区间：（0，

1

2

）；

（II）函数F（x）=f（x）-g（x）=

1

x

+ax+lnx-

a+1

x

-3lnx

=

1

x

+ax-2lnx-

a+1

x

F′（x）=

-1

x2

+a-

2

x

+

a+1

x2

=

-1+ax2-2x+a+1

x2

≥0，

在区间[1，+∞）上大于等于0，

等价于-1+ax²-2x+a+1≥0，

可得a≥

2x

x2+1

，求y=

2x

x2+1

的最大值即可，

因为y在[1，+∞）上为减函数，所以y≤

2

1+1

=1，

∴a≥1；

（ III）令f（x）=2^x+1+

1

2x

-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1）

可得f′（x）=2^x+1ln2-

ln2

2x

-2xln2-ln2

=ln2（2^x+1-

1

2x

-2x-1），

令g（x）=2^x+1-

1

2x

-2x-1，

∴g′（x）=2^x+1ln2+

ln2

2x

-2，x≥1，

可得g′（x）＞g′（1）=4ln2+

ln2

2

-2＞0，

g（x）为增函数，g（x）＞g（1）=4-

1

2

-2-1=

1

2

，

∴f（x）为增函数，

∴f（x）＞f（1）=4+

1

2

-2ln2+3=

15

2

-2ln2＞0，

∴2n+1+

1

2n

≥n(n+1)ln2+3，即证；