问题
解答题
已知函数f（x）=lnx+x2-mx
（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m取值范围；
（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x1，y1））、B（x2，y2）、C（x3，y3），其中在函数f（x）的图象上，试判定△ABC的形状，并说明理由．
答案
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
若m=3，则f（x）=lnx+x2-3x
∴f′（x）=2x2-3x+1 x
令f′（x）＞0，
∵x＞0，
∴0＜x＜
或x＞1；1 2
令f′（x）＜0，
∵x＞0，
∴
＜x＜11 2
即函数f（x）在（0，
）（1，+∞）上递减，在（1 2
，1）上递增，1 2
∴x=1时，函数有极小值为f（1）=-2；
（2）求导函数可得：f′（x）=2x2-mx+1 x
∵函数f（x）在定义域内为增函数，
∴f′（x）=
≥0在（0，+∞）上恒成立2x2-mx+1 x
∴2x2-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立
∴m≤2x+
在（0，+∞）上恒成立1 x
∵x＞0时，2x+
≥21 x
（当且仅当x=2
时取等号）2 2
∴m≤22
∴实数m的取值范围为（-∞，2
]；2
（3）证明：由（2）知，当m=1时，函数在（0，+∞）上单调递增
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且x1＜x2＜x3，
∴y1＜y2＜y3，
∴
=（x1-x2，y1-y2），BA
=（x3-x2，y3-y2），BC
∴x1＜x2＜x3，y1＜y2＜y3，
∴
•BA
＜0BC
∴cos＜
，BA
＞=BC
＜0
•BA BC |
|•|BA
|BC
∴∠ABC为钝角
∴△ABC为钝角三角形