问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在[0,+∞)上的最小值是0,求实数a的取值范围. |
答案
(1)f′(x)=
(x>-1).x(ax+a-1) x+1
①当a=0时,f′(x)=
,∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞);-x x+1
②当a>0时,f′(x)=
,ax(x-
)1-a a x+1
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=
.1-a a
当0<a<1时,x1<x2,函数f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(
,+∞),单调递减区间是(0,1-a a
);1-a a
当a=1时,f′(x)=
在(-1,+∞)上单调递增;x2 x+1
当a>1时,-1<
<0,∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,1-a a
)和(0,+∞),单调递减区间是(1-a a
,0).1-a a
(2)由(1)可知:①a=0时不符合题意;
②当0<a<1时,函数f(x)在(0,
)上单调递减,在(1-a a
,+∞)单调递增,1-a a
由题意可知f(x)min=f(
)<f(0)=0,不符合题意,应舍去;1-a a
③当a≥1时,函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(0)=0满足题意.
综上可知:a的取值范围是[1,+∞).