问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
ax2-x+1n(x+1),a≥0

(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[0,+∞)上的最小值是0,求实数a的取值范围.
答案

(1)f(x)=

x(ax+a-1)
x+1
(x>-1).

①当a=0时,f(x)=

-x
x+1
,∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞);

②当a>0时,f(x)=

ax(x-
1-a
a
)
x+1

令f(x)=0,解得x1=0,x2=

1-a
a

当0<a<1时,x1<x2,函数f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(

1-a
a
,+∞),单调递减区间是(0,
1-a
a
)

当a=1时,f(x)=

x2
x+1
在(-1,+∞)上单调递增;

当a>1时,-1<

1-a
a
<0,∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,
1-a
a
)
和(0,+∞),单调递减区间是(
1-a
a
,0)

(2)由(1)可知:①a=0时不符合题意;

②当0<a<1时,函数f(x)在(0,

1-a
a
)上单调递减,在(
1-a
a
,+∞)
单调递增,

由题意可知f(x)min=f(

1-a
a
)<f(0)=0,不符合题意,应舍去;

③当a≥1时,函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,

故f(x)min=f(0)=0满足题意.

综上可知:a的取值范围是[1,+∞).

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