问题
解答题
已知函数f(x)=lnx-
（1）求f（x）的最小值； （2）证明：不等式
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答案
（1）∵f(x)=lnx-
(a＞0)，∴f′(x)=a(x-1) x x-a x2
∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增
∴f（x）的最小值为f（a）=lna+1-a；
（2）证明：只需证明
＜1 lnx
+1 x-1
，即证lnx＞1 2 2(x-1) x+1
令g（x）=lnx-
，则g′（x）=2(x-1) x+1
＞0(x-1)2 x(x+1)2
∵x＞1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）=0，∴lnx＞2(x-1) x+1
故原不等式成立．