设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2(其中e是自然对数的底数),已知x=-2和x=1为函数f(x)的极值点.
(Ⅰ)求实数a和b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数M,使方程f(x)=M有4个不同的实数根?若存在,求出实数M的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx,…(1分)
∵x=-2和x=1为函数f(x)的极值点,
∴f′(-2)=f′(1)=0,…(2分)
即
,解得-6a+2b=0 3+3a+2b=0
,…(3分)a=- 1 3 b=-1
所以,a=-
,b=-1.…(4分)1 3
(Ⅱ)∵a=-
,b=-1,∴f′(x)=(x2+2x)ex-1-x2-2x=(x2+2x)(ex-1-1),…(5分)1 3
令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1,…(6分)
∵令f′(x)<0,可得x∈(-∞,-2)∪(0,1),令f′(x)>0,可得x∈(-2,0)∪(1,+∞),…(8分)
∴f(x)在区间(-2,0)和(1,+∞)上是单调递增的,在区间(-∞,-2)和(0,1)上是单调递减的.…(9分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)得f(x)=x2ex-1-
x3-x2,由(Ⅱ)得函数的极大值为f(x)极大值=f(0)=0,…(10分)1 3
函数的极小值为f(x)极小值=f(-2)=
-4 e3
,和f(x)极小值=f(1)=-4 3
…(11分)1 3
又
-4 e3
<-4 3
,…(12分)1 3
f(-3)=(-3)2e-4+9-9=9e-4>0,f(3)=32e2-9-9=9(e2-2)>0,…(13分)
通过上面的分析可知,当M∈(-
,0)时方程f(x)=M恰有4个不等的实数根.1 3
所以存在实数M,使方程f(x)=M有4个根,其M取值范围为(-
,0).…(14分)1 3