问题 解答题

设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2(其中e是自然对数的底数),已知x=-2和x=1为函数f(x)的极值点.

(Ⅰ)求实数a和b的值;

(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;

(Ⅲ)是否存在实数M,使方程f(x)=M有4个不同的实数根?若存在,求出实数M的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案

(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx,…(1分)

∵x=-2和x=1为函数f(x)的极值点,

∴f′(-2)=f′(1)=0,…(2分)

-6a+2b=0
3+3a+2b=0
,解得
a=-
1
3
b=-1
,…(3分)

所以,a=-

1
3
,b=-1.…(4分)

(Ⅱ)∵a=-

1
3
,b=-1,∴f′(x)=(x2+2x)ex-1-x2-2x=(x2+2x)(ex-1-1),…(5分)

令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1,…(6分)

∵令f′(x)<0,可得x∈(-∞,-2)∪(0,1),令f′(x)>0,可得x∈(-2,0)∪(1,+∞),…(8分)

∴f(x)在区间(-2,0)和(1,+∞)上是单调递增的,在区间(-∞,-2)和(0,1)上是单调递减的.…(9分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)得f(x)=x2ex-1-

1
3
x3-x2,由(Ⅱ)得函数的极大值为f(x)极大值=f(0)=0,…(10分)

函数的极小值为f(x)极小值=f(-2)=

4
e3
-
4
3
,和f(x)极小值=f(1)=-
1
3
   …(11分)

4
e3
-
4
3
<-
1
3
,…(12分)

f(-3)=(-3)2e-4+9-9=9e-4>0,f(3)=32e2-9-9=9(e2-2)>0,…(13分)

通过上面的分析可知,当M∈(-

1
3
,0)时方程f(x)=M恰有4个不等的实数根.

所以存在实数M,使方程f(x)=M有4个根,其M取值范围为(-

1
3
,0).…(14分)

单项选择题
判断题