f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，

（1）因为 x=

1

2

时，f（x）取得极值，所以 f′(

1

2

)=0，

即2+1+a=0，故a=-3．

（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．

方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，

①当△≤0，即 -2

2

≤a≤2

2

时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．

②当△＞0，即 a＜-2

2

或 a＞2

2

时，

要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，

只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，

设h（x）=2x²+ax+1，

由

h(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0

得a＞0，所以 a＞2

2

．

由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是 [-2

2

，+∞)．