问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a=1时,方程f(x)=m在x∈[
(Ⅲ)求证:ln
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答案
(Ⅰ)对函数求导可得,f′(x)=x-a x2
当a≤0时,在定义域(0,+∞)上,f′(x)>0恒成立,即f(x)单调增区间为 (0,+∞);
当a>0时,在区间(0,a)上,f′(x)<0,即f(x)单调减区间为 (0,a);
在(a,+∞)上,,f′(x)>0,即f(x)单调增区间为 (a,+∞).
(II)a=1时,f′(x)=
,x∈[x-1 x2
,e]1 e
当x∈[
,1)时,f′(x)<01 e
当x∈(1,e]时,f′(x)>0
∴x=1是函数f(x)在[
,e]上唯一的极小值即为最小值1 e
∴f(x)min=f(1)=0
∵f(
)=e-2,f(e)=1 e
,而f(1 e
)-f(e)=e-2-1 e
=1 e
>0e(e-2)-1 e
综上可得,当a=1时,方程f(x)=m在x∈[
,e]上有两解,m的范围为0<m≤1 e 1 e
(III)证明:若a=1,由(II)知f(x)=
+lnx在[1,+∞)上为增函数1-x x
当n>1时,令x=
,则x>1,故f(x)>f(1)=0n n-1
即f(
)=n n-1
+ln1- n n-1 n n-1
=lnn n-1
-n n-1
>01 n
∴ln
>n n-1 1 n