问题 解答题
已知函数f(x)=
a
x
+lnx-1
(a是常数),
(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,方程f(x)=m在x∈[
1
e
,e]
上有两解,求m的取值范围;(e≈2.71828)
(Ⅲ)求证:ln
n
n-1
1
n
(n>1,且n∈N*
答案

(Ⅰ)对函数求导可得,f(x)=

x-a
x2
 

当a≤0时,在定义域(0,+∞)上,f′(x)>0恒成立,即f(x)单调增区间为 (0,+∞);

当a>0时,在区间(0,a)上,f′(x)<0,即f(x)单调减区间为 (0,a);

在(a,+∞)上,,f′(x)>0,即f(x)单调增区间为 (a,+∞).

(II)a=1时,f(x)=

x-1
x2
,x∈[
1
e
,e]

x∈[

1
e
,1)时,f′(x)<0

当x∈(1,e]时,f′(x)>0

∴x=1是函数f(x)在[

1
e
,e]上唯一的极小值即为最小值

∴f(x)min=f(1)=0

∵f(

1
e
)=e-2,f(e)=
1
e
,而f(
1
e
)-f(e)=e-2-
1
e
=
e(e-2)-1
e
>0

综上可得,当a=1时,方程f(x)=m在x∈[

1
e
,e]上有两解,m的范围为0<m≤
1
e

(III)证明:若a=1,由(II)知f(x)=

1-x
x
+lnx在[1,+∞)上为增函数

当n>1时,令x=

n
n-1
,则x>1,故f(x)>f(1)=0

即f(

n
n-1
)=
1-
n
n-1
n
n-1
+ln
n
n-1
=ln
n
n-1
-
1
n
>0

ln

n
n-1
1
n

多项选择题
单项选择题 A3/A4型题