问题
解答题
设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值； （Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明． |
答案
（Ⅰ）∵关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，∴
．α+β=m αβ=-1
∴f(α)=
=2α-m α2+1
=2α-(α+β) α2-αβ
=α-β α2-αβ
，1 α
同理f(β)=
，1 β
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）f（x）在（α，β）上为增函数
∵f(x)=
，2x-m x2+1
∴f′(x)=
，2(x2-mx-1) (x2+1)2
当x∈（α，β）时，x2-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
从而f′（x）＞0，
∴f（x）在（α，β）上为增函数．