（Ⅰ）由已知：f′(x)=

1

x

-a（x＞0），

∵函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-

1

2

．

∴f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，∴a=1．

∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，

∴f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．  …（5分）

（Ⅱ）∀x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，

设h（x）=lnx-（k+1）x，有h′(x)=

1-(k+1)x

x

．

①当k+1≤0，即k≤-1时，h′（x）＞0，此时h（1）=ln1-（k+1）≥0与h（x）≤0矛盾．

②当k+1＞0，即k＞-1时，令h′（x）=0，解得x=

1

k+1

，

∴x∈(0，

1

k+1

)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，x∈(

1

k+1

，+∞)，h′（x）＜0，h（x）为减函数，

∴h（x）_max=h（

1

k+1

）=ln

1

k+1

-1≤0，

即ln（k+1）≥-1，解得k≥

1

e

-1．

综合k＞-1，知k≥

1

e

-1．

∴综上所述，k的取值范围为[

1

e

-1，+∞）．…（10分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，

∴f （x）≤f （1）=0，∴lnx≤x-1．

当n=1时，b₁=ln（1+1）=ln2，

当n≥2时，有ln（n+1）＜n，

∵b_n=

ln(n+1)

n3

＜

n

n3

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，

∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+（

1

2-1

-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=ln2+（1-

1

n

）＜1+ln2．…（14分）