函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）

（Ⅰ）由题意x＞0，f′(x)=

a

x

-

1

x2

，…（2分）

（1）当a＞0时，

由f′(x)=

a

x

-

1

x2

＜0，

解得x＜

1

a

，函数f（x）的单调递减区间是（0，

1

a

）；

由f′(x)=

a

x

-

1

x2

＞0，

解得x＞

1

a

，函数f（x）的单调递增区间是（

1

a

，+∞）． …（4分）

（2）当a≤0时，

由于x＞0，所以f′(x)=

a

x

-

1

x2

＜0恒成立，

函数f（x）的在区间（0，+∞）上单调递减．…（5分）

（Ⅱ）因为对于任意正实数x，不等式f（x）≥2a成立，即2a≤alnx+

1

x

恒成立．

因为a＞0，由（Ⅰ）可知

当x=

1

a

时，函数f(x)=alnx+

1

x

有最小值f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna．…（7分）

所以2a≤a-alna，解得0＜a≤

1

e

．

故所求实数a的取值范围是(0，

1

e

]．    …（9分）

（Ⅲ）因为f(

x1+x2

2

)=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(alnx1+

1

x1

+alnx2+

1

x2

)=

1

2

[aln(x1x2)+

x1+x2

x1x2

]=aln

x1x2

+

x1+x2

2x1x2

．…（10分）

所以f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=aln

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-aln

x1x2

-

x1+x2

2x1x2

=aln

x1+x2

2 x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

．

（1）显然，当x₁=x₂时，f(

x1+x2

2

)=

f(x1)+f(x2)

2

．       …（11分）

（2）当x₁≠x₂时，因为x₁＞0，x₂＞0，且a＜0，

所以x₁+x₂＞2

x1•x2

，

所以

x1+x2

2 x1•x2

＞1，a•ln

x1+x2

2 x1•x2

＜0．…（12分）

又-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

＜0，所以aln

x1+x2

2 x1x2

-

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

＜0

所以f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

＜0，

即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．

综上所述，当x₁=x₂时，f(

x1+x2

2

)=

f(x1)+f(x2)

2

；当x₁≠x₂时，f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．…（14分）