问题
解答题
| 已知函数f（x）=x-sinx （Ⅰ）若x∈[0，π]，试求函数f（x）的值域； （Ⅱ）若x∈[0，π]，θ∈[0，π]，求证：
（Ⅲ）若x∈[kπ，（k+1）π]，θ∈（kπ，（k+1）π），k∈z，猜想
|
答案
（Ⅰ）当x∈[0，π]时，f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）为增函数
∴f（x）的值域为[0，π]
（Ⅱ）设g(x)=
-f(2f(θ)+f(x) 3
)2θ+x 3
∴g/(x)=
(-cosx+cos1 3
)2θ+x 3
由导数等于0得，x=θ
∴x∈（0，θ），g′（x）＜0，x∈（θ，π），g′（x）＞0
∴x∈[0，π]时，g（x）≥g（θ）=0
∴
≥f(2f(θ)+f(x) 3
)2θ+x 3
（Ⅲ）在题设条件下，同（Ⅱ）当k为偶数时
≥f(2f(θ)+f(x) 3
)2θ+x 3
当k为奇数时
≤f(2f(θ)+f(x) 3
)2θ+x 3
