问题
解答题
已知函数f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x．
（Ⅰ）若函数y=f（x）和函数y=g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，求实数m的值．
答案
（Ⅰ）f′(x)=2x-
=8 x
（x＞0）2(x+2)(x-2) x
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=-x2+14x=-（x-7）2+49
如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6
由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数
（Ⅱ）方程f（x）=g（x）+m有唯一解⇔
有唯一解y=m y=2x2-8lnx-14x
设h（x）=2x2-8lnx-14x
h′(x)=4x-
-14=8 x
(2x+1)(x-4)（x＞0）h'（x），h（x）随x变化如下表2 x
| x | （0，4） | 4 | （4，+∞） |
| h'（x） | - | 0 | + |
| h（x） | ↘ | 极小值-24-16ln2 | ↗ |
∴h（x）的最小值为-24-16ln2，
当m=-24-16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．