问题
解答题
| 已知函数f（x）=2x+αlnx（α∈R）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若函数f（x）的最小值为ϕ（α），求ϕ（α）的最大值； （3）若函数f（x）的最小值为妒ϕ（α），m，n为ϕ（α）定义域A内的任意两个值，试比较
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答案
（1）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′（x）=2+a x
当a≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增；
当a＜0时，令f′（x）＞0可得x＞-
；令f′（x）＜0可得0＜x＜-a 2
，∴函数在（0，-a 2
）上单调减，在（-a 2
，+∞）上单调增；a 2
（2）由（1）知，当a≥0时，函数无最小值；当a＜0时，x=-
时，函数取得最小值ϕ（α）=f（-a 2
）=-a+aln（-a 2
）a 2
求导函数可得ϕ′（α）=-1+ln（-
）+1=ln（-a 2
），令ϕ′（α）=0，可得a=-2a 2
∴当a＜-2时，ϕ′（α）＞0；当-2＜a＜0时，ϕ′（α）＜0
∴函数在a=-2时取得极大值，且为最大值ϕ（-2）=2；
（3）ϕ（α）=-a+aln（-
），则m，n为ϕ（α）定义域A内的任意两个值时，a 2
-ϕ(ϕ(m)+ϕ(n) 2
)=m+n 2
[mln(-1 2
)+nln(-m 2
)-(m+n)ln(-n 2
)]=m+n 4
(n 2
lnm n
+ln2• m n
+1m n
)2
+1m n
不妨设m＜n＜0，则
＞1，令t=m n
（t＞1），则m n
-ϕ(ϕ(m)+ϕ(n) 2
)=m+n 2
(tlnn 2
+ln2t t+1
)2 t+1
记u（t）=tln
+ln2t t+1
=tln2t+ln2-（t+1）ln（t+1）（t＞1），则u′(t)=ln2 t+1
＞0，即函数u（t）单调递增，从而u（t）＞u（1）=02t t+1
∵
＜0，∴n 2
-ϕ(ϕ(m)+ϕ(n) 2
)＜0m+n 2
即
＜ϕ(ϕ(m)+ϕ(n) 2
)．m+n 2