设所求的圆柱的高为h，它的轴截面如图：

由图得，

3 -h

3

=

R

1

，所以h=

3

-

3

R

∴V=πR2(

3

-

3

R)，V′=2

3

πR-3

3

πR2．令V′=0，得R=

2

3

得R=

2

3

是极大值点，也是最大值点，即当R=

2

3

时，内接圆柱的体积最大

故答案为：

2

3