问题
解答题
已知函数g(x)=
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间； （2）当a∈（0，+∞）时，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值． |
答案
（1）当a=1时，g(x)=
x3+2x2-2x，g′(x)=x2+4x-2…（2分）1 3
由g'（x）＜0解得-2-
＜x＜-2+6
…（4分）6
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为(-2-
，-2+6
)；…（5分）6
（2）易知f(x)=ax2+4x-2=a(x+
)2-2-2 a
，4 a
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-
＜0…（7分）2 a
①当-2-
＜-4即0＜a＜2时，M∈(-4 a
，0)且f（M）=-4令ax2+4x-2=-4解得x=2 a
…（8分）-2± 4-2a a
此时M取较大的根，即M=
=-2+ 4-2a a
…（9分）-2
+24-2a
∵0＜a＜2，∴M=
＞-1…（10分）-2
+24-2a
②当-2-
≥-4即a≥2时，M＜-4 a
且f（M）=42 a
令ax2+4x-2=4解得x=
…（11分）-2± 4+6a a
此时M取较小的根，即M=
=-2- 4+6a a
…（12分）-6
-24+6a
∵a≥2，∴M=
≥-3当且仅当a=2时取等号…（13分）-6
-24+6a
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3 …（14分）