问题
解答题
已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象上的两点，若对于任意实数x1，x2，当x1+x2=0时，以P，Q为切点分别作函数f（x）的图象的切线，则两切线必平行，并且当x=1时函数f（x）取得极小值1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若M（t，g（t））是函数g（x）=f（x）+3x-3（1≤x≤6）的图象上的一点，过M作函数g（x）图象的切线，切线与x轴和直线x=6分别交于A，B两点，直线x=6与x轴交于C点，求△ABC的面积的最大值．
答案
（1）由题意：f'（x）=3x2+2ax+b
且f'（-x）=f'（x）恒成立知a=0①
又由
⇒f′(1)=0 f(1)=1 3+2a+b=0 1+a+b+c=1 ② ③
由①②③得：a=0，b=-3，c=3，f（x）=x3-3x+3…（5分）
（2）g（x）=f（x）+3x-3=x3（1≤x≤6）
g（x）在M处的切线方程是：y-t3=3t2（x-t），
即y=3t2x-2t3（1≤t≤6）
令x=6可得：B（6，18t2-2t3），C（6，0）．
△ABC的面积S=
（6-1 2
t）（18t2-2t3）=2 3
t4-12t3+54t2，2 3
S′=
t3-36t2+108t=8 3
t（2t-9）（t-9），4 3
令S′=0可得：t=
，t-=0（舍），t=9（舍），9 2
∴S在[1，
]上为增函数，[9 2
，6]上为减函数，9 2
∴△ABC的面积的最大值为S（
）=9 2
．2187 8