问题 解答题

已知函数f(x)=ex(ax2+x+1).

(Ⅰ)设a>0,讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)设a=-1,证明:对∀x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<2.

答案

(Ⅰ)∵f'(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1)=ex(x+2)(x+1).  (3分)

令f'(x)>0,得(x+2)(x+1)>0,注意到a>0,

∴当a∈(0,

1
2
)时,f(x)在(-∞,-
1
a
)上是增函数,在(-
1
a
,-2)上是减函数,在(-2,+∞)上递增;

当a=

1
2
时,f(x)在(-∞,+∞)上递增;

当a∈(

1
2
,+∞)时,f(x)在(-∞,-2)上递增,

在(-2,-

1
a
)上递减,在(-
1
a
,+∞)上递增.           (8分)

(Ⅱ)∵a=-1,由(Ⅰ)f'(x)=-ex(x+2)(x-1),

∴f(x)在[0,1]上单调增加,

故f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=e,最小值为f(0)=1.

从而对∀x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<2.     (12分)

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