问题
解答题
已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．
（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=-1，证明：对∀x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜2．
答案
（Ⅰ）∵f'（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）=ex（x+2）（x+1）． （3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴当a∈（0，
）时，f（x）在（-∞，-1 2
）上是增函数，在（-1 a
，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上递增；1 a
当a=
时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；1 2
当a∈（
，+∞）时，f（x）在（-∞，-2）上递增，1 2
在（-2，-
）上递减，在（-1 a
，+∞）上递增． （8分）1 a
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-ex（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上单调增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对∀x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜2． （12分）