问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)设b>0.若∃x∈[
|
答案
(Ⅰ)①当b=0时,f(x)=
.1 x
故f(x)的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞);无单调增区间.
②当b>0时,f′(x)=
. b-x2 (x2+b)2
令f′(x)=0,得x1=
,x2=-b
.b
f(x)和f′(x)的情况如下:
x | (-∞,-
| -
| (-
|
| (
| ||||||||||||
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - | ||||||||||||
f(x) | ↘ | ↗ | ↘ |
b |
b |
b |
b |
③当b<0时,f(x)的定义域为D={x∈R|x≠±
}.-b
因为f′(x)=
<0在D上恒成立,b-x2 (x2+b)2
故f(x)的单调减区间为(-∞,-
),(--b
,-b
),(-b
,+∞);无单调增区间.-b
(Ⅱ)因为b>0,x∈[
,1 4
],3 4
所以f(x)≥1等价于b≤-x2+x,其中x∈[
,1 4
].3 4
设g(x)=-x2+x,g(x)在区间[
,1 4
]上的最大值为g(3 4
)=1 2
.1 4
则“∃x∈[
,1 4
],使得b≤-x2+x”等价于b≤3 4
.1 4
所以b的取值范围是(0,
].1 4