问题 解答题
已知函数f(x)=
x
x2+b
,其中b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设b>0.若∃x∈[
1
4
3
4
],使f(x)≥1,求b的取值范围.
答案

(Ⅰ)①当b=0时,f(x)=

1
x

故f(x)的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞);无单调增区间.   

②当b>0时,f′(x)=

b-x2
(x2+b)2
.                           

令f′(x)=0,得x1=

b
,x2=-
b

f(x)和f′(x)的情况如下:

x(-∞,-
b
-
b
(-
b
b
b
b
,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)
故f(x)的单调减区间为(-∞,-
b
),(
b
,+∞);单调增区间为(-
b
b
).

③当b<0时,f(x)的定义域为D={x∈R|x≠±

-b
}.

因为f′(x)=

b-x2
(x2+b)2
<0在D上恒成立,

故f(x)的单调减区间为(-∞,-

-b
),(-
-b
-b
),(
-b
,+∞);无单调增区间.

(Ⅱ)因为b>0,x∈[

1
4
3
4
],

所以f(x)≥1等价于b≤-x2+x,其中x∈[

1
4
3
4
].

设g(x)=-x2+x,g(x)在区间[

1
4
3
4
]上的最大值为g(
1
2
)=
1
4

则“∃x∈[

1
4
3
4
],使得b≤-x2+x”等价于b≤
1
4

所以b的取值范围是(0,

1
4
].

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单项选择题