问题
解答题
已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，约等于2.71828）
答案
（Ⅰ） 若a=2，则f（x）=x|x-2|-lnx．
当x∈[2，e]时，f（x）=x2-2x-lnx，f′(x)=2x-2-
=1 x
＞0，2x2-2x-1 x
所以函数f（x）在[2，e]上单调递增；
当x∈[1，2]时，f（x）=-x2+2x-lnx，f′(x)=-2x+2-
=1 x
＜0．-2x2+2x-1 x
所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f（x）在区间[1，2]上有最小值f（2）=-ln2，
又因为f（1）=1，f（e）=e（e-2）-1，而e（e-2）-1＜1，
所以f（x）在区间[1，e]上有最大值f（1）=1．
（Ⅱ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f（x）≥0，得|x-a|≥
． （*）lnx x
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，
＜0，lnx x
不等式（*）恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）当x≥1时，
①当a≤1时，由|x-a|≥
得x-a≥lnx x
，即a≤x-lnx x
，lnx x
现令h(x)=x-
，则h′(x)=lnx x
，x2-1+lnx x2
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
从而h（x）的最小值为1，因为a≤x-
恒成立等价于a≤h（x）min，lnx x
所以a≤1；
②当a＞1时，|x-a|的最小值为0，而
＞0(x＞1)，显然不满足题意．lnx x
综上可得，满足条件的a的取值范围是（-∞，1]．