问题
解答题
| 已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数． （Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大、最小值． |
答案
（I）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=1 3
∴
=1+sin2x cos2x-sinxcosx
=2sin2x+cos2x cos2x-sinxcosx
=2tan2x+1 1-tanx
；11 6
（II）由（I）得代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2
∴F（x）=cos2x+sin2x+1=
sin（2x+2
）+1π 4
当2x+
=2kπ+π 4
⇒x=kπ+π 2
（k∈Z）时，[F（x）]max=π 8
+12
当2x+
=2kπ-π 4
⇒x=kπ-π 2
（k∈Z）时，[F（x）]max=-3π 8
+12