问题
解答题
已知函数f(x)=x-
（1）讨论f（x）的单调性； （2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数． |
答案
（I）∵函数f(x)=x-
+1-alnx，a＞02 x
∴f′（x）=1+
-2 x2
，x＞0a x
令t=
＞01 x
y=2t2-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2
，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数2
②△=a2-8＞0，即：a＞2
，y=0有两个不等根2
由2t2-at+1＞0，得t＜
或t＞a- a2-8 4
，又x＞0a+ a2-8 4
∴0＜x＜
或x＜0或x＞a- a2-8 2 a+ a2-8 2
由2t2-at+1＜0，得
＜t＜a- a2-8 2 a+ a2-8 2
∴
＜x＜a- a2-8 2 a+ a2-8 2
综上：①0＜a≤2
，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数2
②a＞2
函数f（x）(0，2
)，(a- a2-8 2
，+∞)上是增函数，在(a+ a2-8 2
，a- a2-8 2
)上是减函数，a+ a2-8 2
（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e2）=e2-
-5＞02 e2
∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2-3ln2，e2-
-5]2 e2