（Ⅰ）∵g(x)=px-

p

x

-2lnx（x＞0），

∴g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（1分）

令h（x）=px²-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）为增函数，

只需h（x）在（0，+∞）上满足：h（x）≥0恒成立，

即px²-2x+p≥0．即 p≥

2x

x2+1

在(0，+∞)上恒成立．

又∵0＜

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x• 1 x

=1(x＞0)，（4分）

∴p≥1．（5分）

（Ⅱ）证明：要证lnx≤x-1，

即证lnx-x+1≤0（x＞0），

设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．（6分）

当x∈（0，1]时，k'（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；

当x∈（1，+∞）时，k'（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；

∴k（x）_max=k（1）=0．（9分）

即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0，

∴

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

．

∵n∈N^*，n≥2，可令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

．（12分）

∴

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)．

∴

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

22

+1-

1

32

++1-

1

n2

)=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]

=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]

=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

．（14分）