问题
解答题
| 已知函数f（x）=ln（2x-1）+ax2-3x在x=1处取得极值． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求证：∀x∈（1，3]，m∈（0，+∞），f(x)＜
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答案
（1）f′（x）=
+2ax-3，由f′（1）=0，得a=2 2x-1
．（4分）1 2
∴f（x）=ln（2x-1）+
x2-3x，(x＞1 2
)，f/（x）=1 2
+x-3=2 2x-1
=2x2-7x+5 2x-1
，(x-1)(2x-5) 2x-1
有图可知函数f（x）单调区间为
增区间为：(
，1)，(1 2
，+∞)，减区间为：(1，5 2
)（8分）5 2
（2）由f（x）在(
，1)，(1 2
，3)递增，在(1，5 2
)递减．在x=1时取得极大值-5 2 5 2
又f（3）=ln5-f（3）=ln5-f（3）=ln5-
，-9 2
＞ln5-5 2 9 2
所以在∀x∈（1，3]，f（x）＜-5 2
又m∈（0，+∞），
+m
-4≥2-4=-2，（当m=1时取等号）1 m
即
+m
-4的最小值为-2，-2＞-1 m 5 2
∴∀x∈（1，3]，f（x）＜
+m
-4恒成立．1 m