问题
解答题
已知函数f（x）=x2+alnx（a为常数）．
（1）若a=-4，讨论f（x）的单调性；
（2）若a≥-4，求f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x都成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）f（x）=x2-4lnx（x＞0），f'（x）=2x-
=4 x 2(x2-2) x
∴当x∈（0，
]时，f（x）是减函数；2
当x∈[
，+∞），f（x）是增函数．2
（2）a≥-4时，f（x）=x2+alnx，x∈[1，e]，f'（x）=
．2x2+a x
若a≥-2，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上递增，
则当x=1时，f（x）取最小值f（1）=1；
若-4≤a＜-2，f（x）在[1，
]递减，在[- a 2
，e]上递增，- a 2
则当x=
时，f（x）取最小值f（- a 2
）=-- a 2
+a 2
aln（-1 2
）．a 2
（3）对x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，
即x2+alnx≤（a+2）x，
即a（x-lnx）≥x2-2x，
而x∈[1，e]，x＞lnx，
故a≥
，记φ(x)=x2-2x x-lnx
，x∈[1，e]，φ′(x)=x2-2x x-lnx
≥0（仅当x=1时取等号）(x-1)(x+2-2lnx) (x-lnx)2
∴φ(x)≤φ(e)=e2-2e e-1
∴所求a的取值范围是[
，+∞]．e2-2e e-1