（Ⅰ）f′(x)=

1

x+a

-2x-1，∵x=0时，f（x）取得极值，

∴f'（0）=0，

故

1

0+a

-2×0-1=0，解得a=1．经检验a=1符合题意．

（Ⅱ）由a=1知 f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=-

5

2

x+b，得 ln(x+1)-x2+

3

2

x-b=0．

令 φ(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，

则 f(x)=-

5

2

x+b在[0，2]上恰有两个不同的实数根，

等价于φ（x）=0在[0，2]上恰有两个不同实数根． φ′(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，

当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上单调递增；

当x∈（1，2）时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上单调递减；

依题意有

φ(0)≤0 φ(1)＞0 φ(2)≤0

，解可得ln3-1≤b＜ln2+

1

2

.

（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞1}．

由（Ⅰ）知 f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

．令f′(x)=0时，x=0或x=-

3

2

（舍去），

∴当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．

∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．

∴f（x）≤f（0），

故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．

对任意正整数n，取 x=

1

n

＞0得，ln(

1

n

+1)＜

1

n

+

1

n2

，故ln

n+1

n

＜

n+1

n2

．

即ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

分别取n=1，2，3，…，n得：

ln(1+1)-ln1＜

2+1

12

，

ln(2+1)-ln2＜

2+1

22

，

…

ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．

以上n个式子相加得：

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．