问题
解答题
已知函数f（x）=x2+2x+alnx
（1）若f（x）是区间（0，1）上单调函数，求a的取值范围；
（2）若∀t≥1，f（2t-1）≥2f（t）-3，试求a的取值范围．
答案
（1）f′(x)=2x+2+a x
∵f（x）在（0，1）上单调
∴∀x（0，1），f'（x）≥0或∀x∈（0，1）f'（x）≤0
∴a≥-2（x2+x）或a≤-2（x2+x）
从而a≥0或a≤-4（7分）
（2）f（2t-1）≥2f（t）-3⇔2（t-1）22alnt+aln（2t-1）≥0①
令g（t）=2（t-1）2-2alnt+aln（2t-1）
则g′(t)=4(t-1)-
+2a t
=2a 2t-1 2(t-1)[2t(2t-1)-a] t(2t-1)
当a≤2时
∵t≥1，
∴t-1≥0，2t（t-1）≥2
∴g'（t）≥0对t＞1恒成立，
∴g（t）在[1，+∞）上递增，
∴g（t）≥g（1）=0，即1式对t≥1恒成立．
当a＞2时，
令g'（t）＜0且t＞1，
解得1＜t＜1+ 1+4a 4
于是，g(t)在[1，
]上递减，在[1+4a 4
，+∞]上递增，1+ 1+4a 4
从而有g(
)＜g(1)=0，即①式不可能恒成立．1+ 1+4a 4
综上所述a≤2．（16分）
