（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（ax+1）（2分）

令f'（x）＞0，得（x+2）（ax+1）＞0，

∴当a∈(0，

1

2

)时，f(x)在(-∞，-

1

a

)上递增，在(-

1

a

，-2)上递减，在-2，+∞上递增；

当a=

1

2

时，f(x)在(-∞，+∞)上递增；

当a∈(

1

2

，+∞)时，f(x)在(-∞，-2)上递增，在(-2，-

1

a

)上递减，在(-

1

a

，+∞)上递增．           （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时，f（x）在[0，1]总是单调增加，

故f（x）在[0，1]的最小值为f（0）=1．              （8分）

由于“对∀x₁∈[0，1]，∃x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）成立”等价于

“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1”．      （9分）

又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，所以，

①当b＜1时，因为[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤1，此时无解；

②当b∈[1，2]时，因为[g(x)]min=4-b2≤1，解得

3

≤b≤2；

③当b∈（2，+∞）时，因为[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤1，解得b＞2；

综上，b的取值范围是[

3

，+∞)．                （12分）