函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（2分）

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，f′(x)=

1

x

-1，

∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2（5分）

（Ⅱ）f′(x)=-

x2-3x+2

3x2

=-

(x-1)(x-2)

3x2

（6分）

令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故当a=

1

3

时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）

（Ⅲ）当a=

1

3

时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-

2

3

（9分）

若对于∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）         （10分）

又g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，[g(x)]min=g(0)=-

5

12

＞-

2

3

与（*）矛盾

②当0≤b≤1时，[g(x)]min=g(b)=-b2-

5

12

，由-b2-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1

③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，[g(x)]min=g(1)=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，

此时b＞1（11分）

综上，b的取值范围是[

1

2

，+∞)（12分）