（I）f′（x）=ax²+2x+2，f′（0）=2，f（0）=1

∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x+1；

（II）当a=0时，f（x）=x²+2x+1，满足题意；

     当a＜0时，f′（x）=ax²+2x+2，则由于函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，

所以在（-2，-1）上导函数f′（x）≤0及在（0，1）上f′（x）≥0恒成立，

即满足

f′(-2)＜0 f′(-1)≤0

 ①和

f′(0)＞0 f′(1)≥0

②都成立．由①得

a(-2)2+2×(-2)+2＜0 a(-1)2+2×(-1)+2≤0

解得a≤0，

由②得a≥-4，∴-4≤a＜0；

综上，a的取值范围是-4≤a＜0．

（III）∵当a=-1时f（x）=-

1

3

x3+x2+2x+1，∴f′（x）=-x²+2x+2=-（x-1）^2₊₃，即函数f（x）所有切线的斜率都f′（x）≤3，

如果不存在这样的切线与函数f（x）在x₀处的切线垂直即是-

1

f‘(x0)

＞3，即

-1

-x02+2x0+2

＞3，

解得1+

3

＜x0 ＜1+ 

10 3

或1-

10 3

＜x0＜1-

3

，即存在这样的切线符合条件，则x₀的范围是

x0≤1-

10 3

或1-

3

≤x0≤1+

3

或x0≥1+

10 3

，

又知x₀≤0，∴x0≤1-

10 3

或1-

3

≤x0≤0，又∵∀x₀∈（t，0]，∴（t，0]⊆(-∞，1-

10 3

]∪[1-

3

，0]

∴1-

3

≤t，故t的最小值为1-

3