| 设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）． （1）设函数f(x)=Inx+
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）； （ii）求函数f（x）的单调区间． （2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范围． |
（1）f′（x）=
-1 x
=b+2 (x+1)2
(x2-bx+1)1 x(x+1)2
∵x＞1时，h（x）=
＞0恒成立，1 x(x+1)2
∴函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x2-bx+1≥x2-2x+1=（x-1）2＞0
所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴 x=
＞1，b 2
方程φ（x）=0的两根为：
，b+ b2-4 2 b- b2-4 2
而
＞1，b+ b2-4 2
=b- b2-4 2
∈（0，1）2 b+ b2-4
当 x∈（1，
）时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，b+ b2-4 2
故此时f（x）在区间 （1，
）上递减；b+ b2-4 2
同理得：f（x）在区间[
，+∞）上递增．b+ b2-4 2
综上所述，当b≤2时，f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，f（x）在 （1，，
）上递减；f（x）在[b+ b2-4 2
，+∞）上递增．b+ b2-4 2
（2）由题设知，函数g（x）得导数g′（x）=h（x）（x2-2x+1），其中h（x）＞0对于任意得x∈（1，+∞）都成立
∴当x＞1时，g′（x）=h（x）（x-1）2＞0，从而g（x）在（1，+∞）上单调递增
①m∈（0，1），α=mx1+（1-m）x2＞mx1+（1-m）x1=x1
α＜mx2+（1-m）x2=x2
∴α∈（x1，x2）同理可得β∈（x1，x2）
由g（x）得单调性可知，g（α），g（β）∈（g（x1），g（x2））
从而有|g（α）-g（β）|≥|g（x1）-g（x2）|符合题意
②m≤0时，α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2
β=（1-m）x1+mx2≤（1-m）x1+mx1=mx1
于是由α＞1，β＞1及g（x）得单调性可知g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α）
∴|g（α）-g（β）|≥|g（x1）-g（x2）|与题设不符
③m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而可得|g（α）-g（β）|≥|g（x1）-g（x2）|与题设不符
综合①②③可得m∈（0，1）