问题
解答题
已知函数f（x）=x2+alnx．
（1）当a=-2时求f（x）的极值；
（2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
答案
（1）当a=-2时
f（x）=x2-2lnx
f′（x）=2x-
=2 x 2x2-2 x
令f′（x）=0，则x=1
又∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）极小=f（1）=1
（2）∵f（x）=x2+alnx
∴g（x）=x2+2x+alnx
∴g′（x）=2x+2+
=a x 2x2+2x+a x
∵g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即u=2x2+2x+a≥0在[1，+∞）上恒成立
∵u=2x2+2x+a在[1，+∞）上单调递增
∴仅须u的最小值4+a≥0，即a≥-4即可
故实数a的取值范围为[-4，+∞）
