（1）f′（x）=-x²+2bx+c

∵函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

∴

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

（3分）

解得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

（4分）

（i）当b=1，c=-1时，f′（x）=-（x-1）²≤0

所以f（x）在R上单调递减，不存在极值

（ii）当b=-1，c=3时，f′（x）=-（x+3）（x-1）

x∈（-3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增

x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减

所以f（x）在x=1处存在极大值，符合题意．

综上所述，满足条件的值为b=-1，c=3（7分）

（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）=-

1

3

x³+bx²，

设图象上任意一点P（x₀，y₀），则k=y′|x=x0=-x02+2bx₀，x₀∈（0，1），

因为k≤1，

所以对任意x₀∈（0，1），=-x02+2bx₀≤1恒成立（9分）

所以对任意x₀∈（0，1），不等式b≤

x 20 +1

2x0

恒成立

设g（x）=

x2+1

2x

，则g′（x）=

(x-1)(x+1)

2x2

，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0

故g（x）在区间（0，1）上单调递减

所以对任意x₀∈（0，1），g（x₀）＞g（1）=1（12分）

所以b≤1．（14分）