问题
解答题
已知：关于x的一元二次方程-x2+（m+4）x-4m=0，其中0<m<4。
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）
（2）设抛物线y=-x2+（m+4）x-4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若点D的坐标为（0，-2），且AD·BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与n无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由。
答案
解：（1）将原方程整理，得x2-（m+4）x+4m=0，
∵（0<m<4），△=b2-4ac=[-（m+4）]2-4（4m）=m2-8m+16=（m-4）2>0
∴x=
∴x=m或x=4；
（2）由（1）知，抛物线y=-x2+（m+4）x-4m与x轴的交点分别为（m，0）、（4，0），
∵A在B的左侧，0<m<4，
∴A（m，0），B（4，0），则AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4
BD2=OB2+OD2=42+22=20
∵AD·BD=10
∴AD2·BD2=100
∴20（m2+4）=100，解得m=±1
∵0<m<4，
∴m=1，
∴m+4=5，-4m=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2+5x-4；
（3）存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式，如：y3=3（y1-y2）-4（答案不唯一）；
证明：由题意可得y1=-a2+5a-4，y2=-4a2+10a-4，y3=-9a2+15a-4，
∵左边=y3=-9a2+15a-4，
右边=-3（y1-y2）-4=-3[（-a2+5a-4）-（-4a2+10a-4）]-4=-9a2+15a-4，
∴左边=右边，∴y3=-3（y1-y2）-4成立。
