问题
解答题
设函数f（x）=
（Ⅰ）函数f（x）在（11，2012）内单调递减，求a范围； （Ⅱ）若实数a满足1＜a≤2，函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x（b∈R）的极小值点与f（x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于函数f（x）在（11，2012）内单调递减，则a≥2012；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，所以f （x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a．
而g′（x）=12x2+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），所以a=-
，b+2 2
即b=-2（a+1）．又因为1＜a≤2，
所以 g（x）极大值=g（1）=4+3b-6（b+2）=-3b-8=6a-2≤10．
故g（x）的极大值小于等于10．