已知函数f（x）=ax3+3bx2-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得

问题解答题

已知函数f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量

=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x-

在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）

∴

f′(1)=0

f′(2)=

b+5

解得

a=6

b=-4

…（4分）

得f（x）=6x³-12x²+6x+1

∴f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1），

由f′(x)＞0，得x＞1或x＜

，即f(x)在(1，+∞)和(-∞，

)上单调递增．

由f′(x)＜0，得

＜x＜1，即f(x)在(

，1)上单调递减 …（8分）

（2）方程f(x)=6x-

等价于18x3-36x2+19=0

令g（x）=18x³-36x²+19

则g′(x)=54x2-72x=18x(3x-4)．令g′(x)=0，得x=0或x=

．

当x∈(0，

)时，g′(x)＜0，∴g（x）是单调减函数；

当x∈(

，+∞)时，g′(x)＞0，∴g（x）是单调增函数；

∵g(1)=1＞0，g(

)=-

＜0，g(2)=19＞0．

∴方程g(x)=0在区间(1，

)，(

，2)内分别有唯一实根．…（12分）

∴存在正整数m=1，使得方程f(x)=6x-

在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数根．…（14分）