（1）∵f(x)=x-alnx+

b

x

，

∴f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，

∵f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1处取得极值，

∴f′（1）=0，

∴1-a-b=0，即b=1-a．

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由（1）可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

=

x2-ax-(1-a)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

，

令f′（x）=0，则x₁=1，x₂=a-1．

∵a＞3，x₂＞x₁，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f^′（x）＞0；

当x∈（1，a-1）时，f^′（x）＜0．

∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．

（3）当a＞3时，f（x）在[

1

2

，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，

所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．

因为函数g（x）在[

1

2

，2]上是单调递增函数，

所以g（x）的最小值为g（

1

2

）=

1

4

a²+3＞0．

所以g（x）＞f（x）在[

1

2

，2]上恒成立．

要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要g（

1

2

）-f（1）＜9，

即

1

4

a²+3-（2-a）＜9，

所以-8＜a＜4． 

又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．