问题
解答题
已知函数f（x）=lnx-
（1）若a=0时，直线y=x+b为函数y=f（x）的一条切线，求实数b的值； （2）是否存在实数a，使f（x）在[1，e]上的最小值为
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答案
（1）由f（x）=lnx-
（x＞0），a x
当a=0时，f（x）=lnx，
f′(x)=
，由1 x
=1，得x=1，代入y=lnx，得y=0．1 x
把（1，0）代入y=x+b，得b=-1；
（2）f′(x)=
+1 x
=a x2
．x+a x2
令f'（x）≥0
∴x+a≥0，∴x≥-a．
若a＞0，则f'（x）＞0，函数在x＞0单调增．
若a＜0，则有极小值点x=-a，函数在x＞-a单调增．
当-1≤a＜0时，在[1，e]上f'（x）≥0，∴f（x）min=f（1）=-a≤1，不合题意．
当-e＜a＜-1时，f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=
，∴a=-3 2
．e
当a≤-e时，f（x）min=f（e）=1-
＞2不合题意．a e
综上得：a=-
．e