已知函数f（x）=（x2-ax）ex（x∈R），a为实数．（Ⅰ）当a=0时，求

问题解答题

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a为实数．

（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）若f（x）在闭区间[-1，1]上为减函数，求a的取值范围．

答案

（I）当a=0时，f（x）=x²e^x

f′（x）=2xe^x+x²e^x=（x²+2x）e^x，

由f′（x）＞0⇒x＞0或x＜-2

故f（x）单调增区间为（0，+∞）和（-∞，-2）

（II）由f（x）=（x²-ax）e^x，x∈R

得f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x

记g（x）=x²+（2-a）x-a，

依题x∈[-1，1]时，g（x）≤0恒成立，结合g（x）的图象特征

得

g(1)=3-2a≤0

g(-1)=-1≤0

即a≥

，

∴a的取值范围[

，+∞)．