（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1

∴f（x）=-x²+2x+3；

（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=

2-m

2

∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，

∴

2-m

2

≤-2或

2-m

2

≥2

∴m≤-2或m≥6；

（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的对称轴为x=-

3+k

2k

①k＞0时，函数图象开口向上，x=-

3+k

2k

＜0，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴k=-

11

20

＜0，不合题意，舍去；

②k＜0时，函数图象开口向下，x=-

3+k

2k

=-

1

2

-

3

2k

＞-

1

2

，

1°若-

1

2

＜-

3+k

2k

≤4，即k≤-

1

3

时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（-

3+k

2k

）=

12k-(k+3)2

4k

=4

∴k²+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；

2°若-

3+k

2k

＞4，即-

1

3

＜k＜0时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，

∴k=-

11

20

＜-

1

3

，不合题意，舍去；

综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．