问题
解答题
设函数f（x）=x2+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．
答案
（本小题满分14分）
（Ⅰ）a=-4，f（x）=x2-4ln（x+1）（x＞-1），
f′(x)=2x-
=4 x+1
，(x＞-1)，（2分）2(x+2)(x-1) x+1
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，（5分）
（Ⅱ）f′(x)=2x+
=a x+1
，(x＞-1)2x2+2x+a x+1
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x2+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令t=2x2+2x=2(x+
)2-1 2
，(x≥2)，则t≥121 2
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）对于方程2x2+2x+a=0，△=4-8a
当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意
当△＞0时，设x1，x2（x1＜x2）是方程2x2+2x+a=0的两个根，（12分）
根据题意有x1＜0＜x2且f（0）＞f（1）
∴
，解得a＜-log2ea＜0 aln1＞1+aln2 4-8a＞0
∴实数a的取值范围为（-∞，-log2e）．（14分）