（Ⅰ）f^′（x₀）=x²+2ax+b，由题设知f^′（-1）=0

∴b=2a-1

韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点

故1-2a＞-1，

∴a＜1

（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，

故当x∈[-1，2]时，分情况如下：

①1-2a≥2，即a≤-

1

2

时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减

∴f(x)min=f(2)=8a+

2

3

=-

2

3

，

解得a=-

1

6

，不合条件，舍去

②1-2a＜2，即-

1

2

＜a＜1时，

∴f(x)min=f(1-2a)=

1

3

(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=

1

3

(1-2a)2(a-2)

∴

1

3

(1-2a)2(a-2)=-

2

3

，化简得a（2a-3）²=0，a=0或a=

3

2

，取a=0

综上，故所求的a=0

（Ⅲ）k=

f(2)-f(-1)

2-(-1)

=3a，即证x₀²+2ax₀+b=3a

即证方程x²+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解

记g（x）=x²+2ax-a-1=0（a＜1），

g（-1）=-3a，g（2）=3a+3

①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解

②a＜0时，此时△=4（a²+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的

对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解

③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1

综上可知，方程x²+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．

即必存在x₀∈（-1，2），使f'（x₀）=k．