（Ⅰ）由题意得，f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，

∵函数f(x)=

ax

x2+b

在（-1，f（-1））处切线为y=-2，

∴

f′(-1)=0 f(-1)=-2.

，即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2.

解得

a=4 b=1.

∴f(x)=

4x

1+x2

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

，

由f′（x）≥0得，-1≤x≤1，即f（x）的单调增区间是[-1，1]．

∵f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，

∴

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1.

，解得-1＜m≤0．

∴当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．