（I）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，则f'（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，c）为公共切点，可得：4a=12+b  ①
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，与①联立可得：a=

17

4

，b=5．
（2）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
则h′（x）=3x²+2ax+b，

因函数h（x）的单调递减区间为[-

a

2

，-

b

3

]，∴当x∈[-

a

2

，-

b

3

]时，3x²+2ax+b≤0恒成立，

此时，x=-

b

3

是方程3x²+2ax+b=0的一个根，得3（-

b

3

）²+2a（-

b

3

）+b=0，得a²=4b，

∴h（x）=x³+ax²+

1

4

a²x+1

令h'（x）=0，解得：x₁=-

a

2

，x₂=-

a

6

；
∵a＞0，∴-

a

2

＜-

a

6

，列表如下：

x	（-∞，- a 2 ）	- a 2	（- a 2 ，- a 6 ）	- a 6	（- a 6 ，+∞
h′（x）	+		-		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
①若-1≤-

a

2

，即a≤2时，最大值为h（-1）=a-

a2

4

；
②若-

a

2

＜-1＜-

a

6

，即2＜a＜6时，最大值为h（-

a

2

）=1
③若-1≥-

a

6

时，即a≥6时，最大值为h（-

a

2

）=1．
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h（-1）=a-

a2

4

；当a∈（2，+∞）时，最大值为h（-

a

2

）=1．

（2）由（1）知，函数h（x）在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
故h（-

a

2

）为极大值，h（-

a

2

）=1；h（-

a

6

）为极小值，h（-

a

6

）=-

a3

54

+1；

∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．

∴

h(-2)≥-3 h(- a 6 )≥-3

即

- 1 2 a2+4a-7≥-3 - a3 54 +1≥-3

，解得

4-2 2 ≤a≤4+2 2 a≤6

∴a的取值范围：4-2

2

≤a≤6．