解：（1）分两种情况：

当m=0时，原方程可化为3x-3=0，即x=1；

∴m=0时，原方程有实数根；

当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，

∵△=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，

∴方程有两个实数根；

综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根；

（2）①∵关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称；

∴3（m-1）=0，即m=1；

∴抛物线的解析式为：y₁=x²-1；

②∵y₁-y₂=x²-1-（2x-2）=（x-1）²≥0，

∴y₁≥y₂（当且仅当x=1时，等号成立）；

（3）由②知，当x=1时，y₁=y₂=0，即y₁、y₂的图象都经过（1，0）；

∵对应x的同一个值，y₁≥y₃≥y₂成立，

∴y₃=ax²+bx+c的图象必经过（1，0），

又∵y₃=ax²+bx+c经过（-5，0），

∴y₃=a（x-1）（x+5）=ax²+4ax-5a；

设y=y₃-y₂=ax²+4ax-5a-（2x-2）=ax²+（4a-2）x+（2-5a）；

对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁≥y₃≥y₂成立，

∴y₃-y₂≥0，

∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0；

根据y₁、y₂的图象知：a＞0，

∴y_最小=≥0

∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，

∴（3a-1）²≤0，

而（3a-1）²≥0，只有3a-1=0，解得a=，

∴抛物线的解析式为：y₃=x²+x-。