问题 解答题

已知:关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0。

(1)求证:m取任何实数时,方程总有实数根;

(2)若二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,

①求二次函数y的解析式;

②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;

(3)在(2)条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2 均成立,求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式。

答案

解:(1)分两种情况:

当m=0时,原方程可化为3x-3=0,即x=1;

∴m=0时,原方程有实数根;

当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,

∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0,

∴方程有两个实数根;

综上可知:m取任何实数时,方程总有实数根;

(2)①∵关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称;

∴3(m-1)=0,即m=1;

∴抛物线的解析式为:y1=x2-1;

②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0,

∴y1≥y2(当且仅当x=1时,等号成立);

(3)由②知,当x=1时,y1=y2=0,即y1、y2的图象都经过(1,0);

∵对应x的同一个值,y1≥y3≥y2成立,

∴y3=ax2+bx+c的图象必经过(1,0),

又∵y3=ax2+bx+c经过(-5,0),

∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a;

设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a);

对于x的同一个值,这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立,

∴y3-y2≥0,

∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0;

根据y1、y2的图象知:a>0,

∴y最小=≥0

∴(4a-2)2-4a(2-5a)≤0,

∴(3a-1)2≤0,

而(3a-1)2≥0,只有3a-1=0,解得a=

∴抛物线的解析式为:y3=x2+x-

单项选择题
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