问题
解答题
| 已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0） （1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值； （2）讨论f（x）的单调性； （3）证明：(1+
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答案
（1）∵f′(x)=
+a，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，2x 1+x2
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵f′(x)=
+a=2x 1+x2 ax2+2x+a 1+x2
①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若
得，当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，a＜0 △≤0
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
＜x＜-1+ 1-a2 a -1- 1-a2 a
再令f'（x）＜0，可得x＞
或x＜-1- 1-a2 a -1+ 1-a2 a
∴f(x)在(
，-1+ 1-a2 a
)上单调递增，-1- 1-a2 a
在(-∞，
)和(-1+ 1-a2 a
，+∞)上单调递减-1- 1-a2 a
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f(x)在(
，-1+ 1-a2 a
)上单调递增(-∞，-1- 1-a2 a
)和(-1+ 1-a2 a
，+∞)上单调递减；-1- 1-a2 a
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+
）（1+1 9
）…（1+1 81
）]=ln（1+1 32n
）+ln（1+1 9
）+…+ln（1+1 81
）1 32n
＜
+1 3
+…+1 32
=1 3n
=
(1-1 3
)1 3n 1- 1 3
（1-1 2
）＜1 3n
，∴（1+1 2
）（1+1 9
）…（1+1 81
）＜e1 32n
=1 2 e