问题
解答题
三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VS—ABC最大，并求最大值.
答案
a为
时，三棱锥的体积最大为
方法一 如图所示，
设SC=a，其余棱长均为1，
取AB的中点H，连接HS、HC，
则AB⊥HC，AB⊥HS，
∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中，过S作SO⊥HC，则SO⊥平面ABC.
在△SAB中，SA=AB=BS=1，
∴SH=
，
设∠SHO=
，则SO=SHsin=sin，
∴VS—ABC=
S△ABC·SO
=×
×12×sin
=sin≤.
当且仅当sin=1，即=90°时，三棱锥的体积最大.
a=
SH=×=，Vmax=.
∴a为时，三棱锥的体积最大为.
方法二 取SC的中点D，可通过VS—ABC=S△ABD·SC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.