（Ⅰ）∵函数f(x)=

lnx

x

-x，∴f′(x)=

1-lnx

x2

-1，令f′（x）=0，得x²=1-lnx，显然x=1是此方程的解；

令g（x）=x²+lnx-1，其中x∈（0，+∞），则g′(x)=2x+

1

x

＞0；

∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又x=1是方程f′（x）=0的唯一解，

∴当x=1时，函数有最大值f（x）_max=f（1）=-1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

故①当0＜2m≤1，即0＜m≤

1

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增，f(x)max=f(2m)=

ln2m

2m

-2m；

②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减，f(x)max=f(m)=

lnm

m

-m；

③当m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1时，f（x）_max=f（1）=-1．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1，

∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，当且仅当x=1时“=”成立，

∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）；

∵

1+n

n

＞1，∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

，

即对∀n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．