问题
解答题
已知在函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解，求实数k的取值范围；
（3）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．
答案
（1）f′（x）=-3x2+2ax+b，由题意可得
，解得f(1)=-1+a+b+c=-2 f′(1)=-3+2a+b=-3 f′(-2)=-12-4a+b=0
，a=-2 b=4 c=-3
经验证满足条件，
∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．
（2）∵f′（x）=-3x2-4x+4=-（3x-2）（x+2）=0，解得x=
或-2．2 3
∵f（-3）=-6，f（-2）=-11，f(
)=-2 3
，f（1）=-2．41 27
画出图象可知：当-11＜k≤-6或-2≤k＜-
时，f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解；41 27
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．
∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，∴f′（x）=-3x2-bx+b≥0恒成立，
∴b≥
在区间[-2，0]上恒成立．-3x2 x-1
令g(x)=
，则g′(x)=-3x2 x-1
≥0，-3x(x-2) x-1
∴g（x）在区间[-2，0]上单调递增，得g（x）max=0．
∴b≥0．